conectivos
símbolos
oración
-
no, ni
y, además, pero, aunque
o
v
o
si... entonces...
si y solo si
LÓGICA SIMBOLICA
Proposición: toda oración de la cual puede decirse si es verdadera o falsa
Es proposición la oración: las personas ríen
No es proposición, la oración: ¿cuál es tu nombre?
Conectivos: oraciones que relacionan proposiciones
|
conectivos |
símbolos |
oración |
| Negación |
- |
no, ni |
| Conjunción |
|
y, además, pero, aunque |
| Disyunción inclusiva |
|
o |
| Disyunción exclusiva |
v |
o |
| Condicional |
|
si... entonces... |
| Bicondicional |
|
si y solo si |
Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas como p, q, r, . . .
El perro y el mono son animales vertebrados
Llamamos p: El perro es un animal vertebrado
q: El mono es n animal vertebrado
Luego la proposición dada, se puede simbolizar como
Tablas de verdad
|
Negación |
Conjunción |
Disyunción inclusiva |
Disyunción exclusiva |
Condicional |
Bicondicional |
|
- p |
p
q |
p
q |
p v q |
p
q |
p |
| f v | v v v | v v v | v f v | v v v | v v v |
| v f | v f f | v v f | v v f | v f f | v f f |
| f f v | f v v | f v v | f v v | f f v | |
| f f f | f f f | f f f | f v f | f v f |
Tautología: una proposición compuesta es tautológica si los valores de verdad de la tabla asociada son todos verdaderos
Contradicción: una proposición compuesta es contradictoria si los valores de verdad de la tabla asociada son todos falsos
Contingencia: una proposición compuesta es una contingencia si los valores de verdad de la tabla asociada son falsos y verdaderos
Clasificar en tautología, contradicción o contingencia
Si voy al cine entonces llueve y hace frío
Llamamos p: Voy al cine q: Llueve r: Hace frío
La forma simbólica es p
( q
r )
| p |
q |
r |
p |
| v |
v |
v | v v v |
| v | v | f | v f f |
| v | f | v | v f f |
| v | f | f | v f f |
| f | v | v | f v v |
| f | v | f | f v f |
| f | f | v | f v f |
| f | f | f | f v f |
Luego se tiene una contingencia
Razonamientos deductivos
Un razonamiento es un conjunto de proposiciones tales que por lo menos una de ellas llamada conclusión se deduce de las restantes llamadas premisas.
Los razonamientos se clasifican en válidos o inválidos (no válidos). Un razonamiento es válido si partiendo de premisas verdaderas no es posible obtener conclusión falsa.
Un razonamiento es inválido si de premisas verdaderas se obtiene conclusión falsa
Para estudiar la validez de un razonamiento se emplean distintas técnicas. Presentaremos 3 métodos: condicional asociado; prueba de invalidez y método demostrativo.
Dado el siguiente razonamiento, expresar simbólicamente.
Si Maximiliano aprueba el examen entonces pasa de año. Maximiliano aprueba el examen; por lo tanto pasa de año.
Llamamos p: Maximiliano aprueba el examen q: Maximiliano pasa de año
Primer premisa
p
q
Segunda premisa p
Conclusión q
El
razonamiento se puede escribir
p
q
p
----------------
q
o bien se
puede escribir como conjunción de premisas [ (
p
q)
p ]
q
Estudiar la validez del razonamiento del ejemplo 4) utilizando el método del condicional asociado.
El método consiste en construir la tabla de verdad asociada al
razonamiento; esto es [ (
p
q)
p ]
q
y luego determinar si la misma es tautológica. Un razonamiento es válido si la tabla correspondiente es tautológica.; en cualquier otro caso es inválido.
Constrúyase la tabla y obtendrá tautología, luego el razonamiento es válido.
EJEMPLO 6)
Estudiar la validez del razonamiento del ejemplo 4) utilizando la prueba de invalidez
Como se ha visto en el ejemplo 4) se tiene
p
q
(primer premisa)
p (segunda premisa)
----------------
q (conclusión)
La prueba consiste en suponer que el razonamiento es inválido. Esto es, suponemos que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.
En nuestro caso partimos de la conclusión falsa,
es decir suponemos que q es F . Luego se observa que
la primer premisa
p
q no puedes ser verdadera
por la tabla del condicional. En consecuencia no se ha logrado tener premisas verdaderas y conclusión falsa. Luego el razonamiento es válido.
EJEMPLO 7)
Estudiar la validez del razonamiento
p
q
q
r
--------------
p
r
El método consiste en utilizar las leyes lógicas de tal manera que pueda arribarse a la conclusión. En caso de no llegar a dicha conclusión, nada puede asegurarse sobre la validez del mismo.
En nuestro ejercicio se observa que de la primer y segunda premisa se obtiene la conclusión por la ley Silogismo hipotético.
Funciones proposicionales
Toda oración en la que interviene una o mas variables es una función proposicional. Se denota como P(x), Q(x,y), etc Cuando se le asignan valores a dichas funciones o se las cuantifica se transforman en proposiciones. Los cuantificadores que utilizamos son el universal y el existencial.
EJEMPLO 8)
Simbolizar la proposición
Existen personas alegres y honradas
Si consideramos a x como variable que representa a las personas, se tiene P(x): x es alegre Q(x): x es honrada
Luego simbolizamos $
x / P(x)
Q(x)
Negación de funciones proposicionales cuantificadas
Para negar una función proposicional cuantificada, se cambia el cuantificador y se niega la dicha función.
EJEMPLO 9)
Negar la proposición simbolizada del ejemplo 8)
La negación es
"x
: - (P(x)
Q(x)) que es equivalente a escribir
"x
: - (P(x)
-Q(x) (por la ley de De Morgan)
Esto se puede expresar como
Todas las personas no son alegres o no son honradas